广西快三团队全天计划:由平方數對半和與對半差得到全部自然數的平方

內容提要 文章發現并證明了平方數對半和定理與對半差定理,發現了無窮多自然數,其平方的對半和與對半差可得到全部自然數的平方,徹底解決了幾千年來自然數研究的“漏網之魚”問題。

全天广西快三计划手机版 www.sooiez.com.cn 由平方數對半和與對半差得到全部自然數的平方

       楊勇先  李 艷  雷 燕  

內容提要  文章發現并證明了平方數對半和定理與對半差定理,發現了無窮多自然數,其平方的對半和與對半差可得到全部自然數的平方,徹底解決了幾千年來自然數研究的“漏網之魚”問題。

 

§1.概述

1992年2月,印度數學家J.V.Ctaudhari和M.N.Deshpande發現了13個三位連續自然數,每個數的平方都是六位數,其前三位與后三位之和(對半和)仍然是平方數,而且是連續自然數的平方:

9562=913936    913+936=1849=432

9572=915849    915+849=1764=422

 …………………………………

9682=937024    937+024=961=312

這個發現令數學家們感到十分驚訝,被稱為幾千年來自然數研究的“漏網之魚”,被當代人捉住了【1】。

1996年9月,美國數學家Owen Thomas又發現了一組具有同樣特點的42個四位連續自然數,其平方的對半和也是連續自然數的平方【1】:

98592=97199881    9719+9881=19600=1402

98602=97219600    9721+9600=19321=1392

…………………………………

99002=98010000    9801+0000=9801=992

國外三位數學家發現的平方數特性非常奇妙。但他們發現的只是茫茫數海中的個別現象,并沒有總結出一般規律,距離平方數對半和問題的徹底解決還差得很遠。

§2.平方數對半差定理

定理:設A = 10n(10n-k)+1,其中 n=1、2、3……,k=1、2、3……10n/2,則A2的對半必定是完全平方數。

(若A2是4n位數,則前2n位數與后2n位數之差稱為對半差)

 證:[10n(10n-k)+1]2

= 102n(10n-k) 2 + 2╳10n(10n-k) +1

= 102n(102n- 2╳10n k + k2)+ 2╳102n - 2╳10n k +1

= 102n(102n- 2╳10n k + k2)+ 102n +102n - 2╳10n k +1

= 102n(102n- 2╳10n k + k2 +1) +102n - 2╳10n k +1

由于k 的最大值只能是5、50、500……等數,所以10n(10n-k)+1的首位數只能是5,6,7,8,9各數;又由于10n(10n-k)+1是2n位數,[10n(10n-k)+1]2必然是4n位數。其前2n位數必然是

(102n- 2╳10n k + k2 +1)

后2n位數必然是

102n - 2╳10n k +1

顯然,其對半差

(102n- 2╳10n k + k2 +1)-(102n - 2╳10n k +1)= k2

定理得證。

§3.由平方數對半差定理可得到1~5,1~50,1~500,1~5000……的平方

令n=1,k=1、2、3、4、5,則有:

912=8281      82-81=1=12

812=6561      65-61=4=22

712=5041      50-41=9=32

612=3721      37-21=16=42

512=2601      26-01=25=52

得到了1~5各數的平方。

令n=2,k=1、2、3……50,則有:

99012=98029801      9802-9801=1=12

98012=96059601      9605-9601=4=22

97012=94109401      9410-9401=9=32

…………………………………

75012=56265001      5626-5001=625=252

 …………………………………

51012=26020201      2602-0201=2401=492

50012=25010001      2501-0001=2500=502

得到了1~50各數的平方。

令n=3,k=1、2、3……500,則有:

9990012=998002998001      998002-998001=1=12

9980012=996005996001      996005-996001=4=22

…………………………………………………

7860012=617797572001      617797-572001=45796=2142

…………………………………………………

5010012=251002002001      251002-002001=249001=4992

5000012=250001000001      250001-000001=250000=5002

得到了1~500各數的平方。

令n=4,k=1、2、3……5000,則有:

999900012=9998000299980001      99980002-99980001=1=12

999800012=9996000599960001      99960005-99960001=4=22

…………………………………………………

701200012=4916814540240001      49168145-40240001=8928114=29882

…………………………………………………

500100012=2501000200020001     25010002-00020001=24990001=49992

500000012=2500000100000001     25000001-00000001=25000000=50002

得到了1~5000各數的平方。

依此類推,不再列舉。

§4.平方數對半和定理

定理:設B = 10n(510n-1- Q)-1,其中n = 1、2、3……,Q = 0、1、2、3……510 n -2,則B2的對半必定是完全平方數。

(若B2是4n位數,則前2n位數與后2n位數之和稱為對半和)

證:[10n(5╳10n-1- Q)-1]2

= 102n(5╳10n-1- Q) 2 - 2╳10n(5╳10n-1- Q) +1

= 102n(25╳102n-2- 2╳5╳10n-1 Q + Q 2)+ 2╳5╳102n-1 - 2╳10n Q +1

= 102n(25╳102n-2 - 10n Q + Q 2)- 102n + - 2╳10n Q +1

= 102n(25╳102n-2 - 10n Q + Q 2 -1) + 2╳10n Q +1

由于[10n(5╳10n-1- Q)-1]是2n位數,其首二位數大于32時[10n(5╳10n-1- Q)-1]2是4n位數??梢鑰闖銎淝?n位數是

(25╳102n-2 - 10n Q + Q 2 -1)

后2n位數是

2╳10n Q +1

其對半和就是

(25╳102n-2 - 10n Q + Q 2 -1) + 2╳10n Q +1

= 25╳102n-2 + 10n Q + Q 2

=(5╳10 n-1 + Q)2

定理得證。

§5.由平方數對半和定理可得到50~98,50~998,50~9998……的平方

令n=1,Q=0、1、2、3,則有:

492=2401       24+01=25=52

392=1521       15+21=36=62

292=841       8+41=49=72

192=361       3+61=64=82

令n=2,Q=0、1、2……18,則有:

49992=24990001    2499+0001=2500=502

48992=24000201    2400+0201=2601=512

                 ……………………………

32992=10883401    1088+3401=4489=672

31992=10233601    1023+3601=4624=682

當Q的值增大到使B2的位數減少時,根據平方數對半和定理,計算對半和時應保持后2n位數不變。

令n=2,Q=19、20……39,則有:

30992=9603801     960+3801=4761=692

29992=8994001     899+4001=4900=702

……………………………

11992=1437601     143+7601=7744=882

10992=1207801     120+7801=7921=892

令n=2,Q=40、41……46,則有:

9992=998001       99+8001=8100=902

8992=808201       80+8201=8280=912

……………………………

3992=159201       15+9201=9216=962

令n=2,Q=47、48,則有:

2992=89401        8+9401=9409=972

1992=39601        3+9601=9604=982

得到了連續自然數50~98各數的平方。

令n=3,Q=0、1、2……498,則有:

4999992=249999000001  249999+000001=250000=5002

4989992=249000002001  249000+002001=251001=5012

…………………………………………………

1019992=10403796001   10403+796001=806404=8982

…………………………………………………

989992=9800802001   9800+802001=811801=9012

……………………………………………

339992=1155932001   1155+932001=933156=9662

……………………………………………

309992=960938001    960+938001=938961=9692

……………………………………………

109992=120978001    120+978001=978121=9892

……………………………………………

89992=80982001      80+982001=982081=9912

……………………………………………

19992=3996001       3+996001=996004=9982

得到了連續自然數50~998各數的平方。

令n=4,Q=0、1、2……4998,則有:

499999992=2499999900000001   24999999+00000001=25000000=50002

499899992=2499000000020001   24990000+00020001=25010001=50012

499799992=2498000300040001   24980003+00040001=25020004=50022

…………………………………………………

100199992=100400379960001    1004003+79960001=80964004=89982

……………………………………………

8699992=756898260001         7568+98260001=98267569=99132

……………………………………………

2599992=67599480001          675+99480001=99480676=99742

……………………………………………

899992=8099820001            80+99820001=99820081=99912

……………………………………………

199992=399960001             3+99960001=99960004=99982

得到了連續自然數50~9998各數的平方。

依此類推,不再列舉。

§6.此二定理可得到全部自然數的平方

可以明顯地看出:在運用平方數對半和定理尚未得到的99、100、999、1000……的平方,在運用平方數對半差定理時得到了,它們已經包含在1~5000各數的平方之內。就是說,已經得到了1~10000各數的平方。

依此類推,將會得到全部自然數的平方,不再列舉。

以上所發現并證明的平方數對半差定理與對半和定理,可得到全部自然數的平方,圓滿地解決了平方數的對半和與對半差仍然是完全平方數這一世界難題,捉住了幾千年來自然數研究的“漏網大魚”。

 

參考資料

1.王凱成、羅運綸:完全平方數對半和的幾個性質. 數學通報. 1999.12.      

 

(楊勇先/陜西省決策咨詢委員會

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